توسعه روشهاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز 2

Transcript

1 توسعه روشهاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز * ثمینه کابلی دانشجوی کارشناسی ارشد دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه علم و صنعت ایران رسول نورالسناء استاد دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه علم و صنعت ایران چکیده در کنترل آماری فرایندهای چندمتغيره دو یا چند مشخصه کيفی باید به طور همزمان کنترل شوند. در کنترل چنين فرایندهایی دستيابی به دو هدف عمده الزم است. هدف اول تشخيص وضعيتهای خارج از کنترل و هدف دوم شناسایی مشخصههای کيفی عامل انحراف در زمان وقوع یک وضعيت خارج از کنترل میباشد. در این تحقيق راههای دستيابی به هدف اول بررسی شده و روشهایی برای پایش ماتریس واریانس کوواریانس چندمتغيره در فاز ارائه شده است. هدف اصلی فاز کشف سریع شيفتها میباشد. در این مقاله روش برای پایش ماتریس واریانس کوواریانس چندمتغيره در فاز ارائه شده و شيفت در یکی از مشخصههای کيفی مورد )متوسط طول دنباله( و کشف بررسی قرارگرفته است. نتایج شبيهسازی نشان میدهد که روشهای پيشنهادی باعث کاهش ARL سریعتر وضعيت خارج از کنترل میشوند. کلمات کلیدي کنترل آماری فرایند چند متغيره پایش ماتریس واریانس کوواریانس چند متغيره متوسط طول دنباله 4- مقدمه تحليلی از دادهها که با آزمایش یا مشاهده جمعآوری میشوند شرح تعدیل شدهای از پدیده را پيشنهاد میکند. در سرتاسر این فرایند تکراری اغلب متغيرهایی از مطالعه حذف یا به آن افزوده میشود. از اینرو پيچيدگیهای بيشتر پدیدهها نياز به جمعآوری مشاهدات روی بسياری از متغيرها دارد و روشهای آماری مناسبی برای بررسی این پدیدهها الزم است. به خاطر اینکه دادهها اندازههای همزمانی را در مورد چند متغير شامل میشود این روشها تحليل آماری چندمتغيره ناميده میشوند. همچنين لزوم درك روابط بين بسياری از متغيرها اهميت تحليل آماری چندمتغيره را افزایش میدهد. در صنعت معموال کيفيت چند- متغير از مشخصه کيفی به صورت همزمان کنترل میشود یعنی برداری از مشخصهها وجود دارد. توجه توام بر روی چند شاخص کيفی مسائل کنترل کيفيت چند متغيره را بوجود میآورد. موضوع اصلی در مسائل کنترل کيفی چند متغيره که این نوع از کنترل کيفيت تکمتغيره جدا میکند همبستگی متغيرهاست به طوری که اگر هر متغير به صورت جداگانه بررسی شود و همبستگی بين آنها در نظر گرفته نشود عواقب نامطلوبی بهبار میآورد. از این رو جهت پایش این متغيرها بردار الزم است بردار ميانگين و ماتریس کوواریانس آنها پایش شود. کنترل فرایند آماری متشکل از ابزارهایی است که توسط آن اختالف فرایند را اندازه گيری نموده و آن را تحليل مینمایيم. یکی از ابزارهای مهم نمودارهای کنترل میباشد. نمودارهای کنترل کيفيت آماری به عنوان یکی از ابزارهای کنترل نخستين بار در دهه توسط شوهارت معرفی گردید. همانطور که لوری و مونتگومری [3] در مطالعات خود اشاره کرده اند رویکرد چند متغيره در کنترل کيفيت اولين بار توسط هتلينگ در سال 9 مورد بررسی قرار گرفت. وی آماره و توزیع آماری آن را ارائه داد و از آن در نمودارهای کنترل استفاده کرد. *(Corresponding author) samin.kaboli@gmail.com 3/44/3 تاریخ دریافت: 3/3/ تاریخ پذیرش: جلد - شماره 4- بهار 43 4

2 توسعه روش هاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز در سال 9 ميالدی با پيشرفت تکنولوژی کامپيوتر کنترل آماری فرایند چندمتغيره بسيار مورد توجه قرار گرفت. از این سال به بعد مقاالت متعددی در این زمينه منتشر شدند. تالش برای استفاده از نمودارهای کنترلی در مسئله کنترل کيفی چندمتغيره زمينه گستردهای در کنترل آماری فرایند چندمتغيره ایجاد کرده است و موجب پيدایش و توسعه نمودارهای کنترلی چند متغيره شده است. از آنجایی که بيشتر فعاليتهای صورت گرفته در زمينه این در مورد بردار ميانگين بوده و فعاليت کمتری در مورد روشهای پایش ماتریس کوواریانس انجام شده است در این مقاله روشهای پایش ماتریس کوواریانس بررسی شده و روشهای جدیدی در این زمينه توسعه داده میشود. - نمودارهاي کنترل چندمتغیره نمودارهای کنترل مورد استفاده جهت پایش چندین مشخصه کيفی به طور همزمان نمودار کنترل چندمتغيره ناميده میشود. برتری این نمودارها این است که قادرند چندین متغير کيفی را به طور همزمان برای تغييرات ميانگين و پراکندگی فرایند پایش کنند. نمودارهای کنترل مطابق شکل دسته بندی می شوند. در بيشتر نمودارها فرض میشود که جمعيت والد دارای توزیع نرمال میباشد. حتی اگر جمعيت والد نرمال نباشد به وسيله قضيه حد مرکزی ميانگينهای نمونهای به توزیع نرمال ميل میکنند. در نتيجه حتی وقتی که جمعيت نرمال نيست این فرض به خطاهای مهمی منجر نمیشود. در دو دهه اخير تعداد زیاد مقاالت چاپ شده در ژورنالهای کيفيت و آمار گواه این مطلب میباشد که تمایل تحقيقات در زمينه کنترل کيفيت چندمتغيره افزایش یافته است. بهبودهای اخير در بسياری از کاربردهای صنعتی میباشد که کيفيت محصول بوسيله چندین مشخصه کيفی وابسته تعيين میشود و باید به طور همزمان کنترل و پایش شوند. نشانه دیگر رشد قابل قبول این روشها در صنعت دسترسپذیری بعضی از این ابزارهای کنترل کيفيت دربستههای نرمافزاری مثل Minitab میباشد. تعدادی از نویسندگان اشاره کردهاند که کنترل کيفيت چندمتغيره به خصوص کاربرد نمودارهای کنترل چندمتغيره مهمترین ناحيه تحقيقات در قرن اخير میباشد. )وودال و مونتگومری [9]. اکثریت تحقيقات در سال اخير بر بهبود نمودارهای کنترل چندمتغيره برای پایش نمودار کنترل تک متغيره نمودارهای کنترل نمودار کنترل چند متغيره شيفت در ميانگين فرایند متمرکز بوده است. بهترین مرورها از این بهبودها میتواند در مقاالت زیر یافت شود: ویردا [] ماسون و همکاران [9]. اگر چه این مرورها شامل بحثهایی در مورد نمودارهای کنترل چندمتغيره جهت پایش تغييرات ماتریس کوواریانس نيز میباشد پوشش اصلی به بهبودهایی که قبل از سال انجام شده است محدود میشود. از بسياری از مقاالت چاپ شده به طور ویژه برروی نمودارهای کنترل چندمتغيره برای پایش ماتریس کوواریانس بحث میکند. برای بحث نمودارهای کنترل طراحی شده در فاز I کنترل فرایند مقاالت آلت [] ساليوان و وودال [8] وجود دارند. نمودارهای کنترل چندمتغيره پایش ماتریس کوواریانس براساس نوع نمودارها دستهبندی میشوند )جدول (. انواع نمودارها شامل نمودار شوهارت چندمتغيره CUSUM چندمتغيره و EWMA چند متغيره میباشند. شکل - انواع نمودارهای کنترل متغيرها وقتی ماتریس کوواریانس نمونهای محاسبه میشود و رنک کامل دارد رویکردها نوعا وابسته به واریانس تعميم یافته نمونهای یا نسبت درست میباشند. در این شرایط نمایی مربوط به آزمون تساوی دو ماتریس معلوم است یا اینکه میتواند از نمونه آزمایش تحت کنترل برآورد شود. نمودارهای کنترل بینظمی شرطی وابسته به مجموع لگاریتم نمونهای برواریانس جامعه برای هر وابسته به مجموع P p- پایش ميانگين نمودار هتلينگ نمودار MCUSUM نمودار نسبت واریانس متغير نمودار کنترل مستقل به دست آمده از تجزیه ماتریس کوواریانس نمونهای و نمودار کنترل توسعه یافته MEWMA پایش پراکندگی پایش ميانگين نمودار X پایش پراکندگی نمودار شوهارت نمودار MCUSUM نمودار MEWMA نمودار CUSUM نمودار EWMA نمودارهای دامنه (R) و سيگما (S) نمودار دامنه متحرك نمودار نمودار Cusum دامنه EWMA دامنه جلد - شماره 4- بهار 43

3 رسول نورالسناء و ثمینه کابلی 4 نمودار CUSUM دنباله برآورد نيز هر دو نمودار شوهارت واریانس تعميم یافته و نسبت درستنمایی را پوشش میدهد. [] در ميان نمودارهای EWMA استفاده از نمودار EWMLR را توصيه میشود از آنجایی که میتواند تغييرات ماتریس کوواریانس را وقتی ماتریس کوواریانس خارج از کنترل است و همان واریانس تعميمیافته را به عنوان ماتریس کوواریانس تحت کنترل دارد کشف کند. [9] نمودارهای کنترل متعددی برای مشاهدات انفرادی بهبود داده شدهاند. این نمودارها شامل نمودارهای کنترل براساس دامنه متحرك نمودارهای EWMA و CUSUM چندگانه نمودار براساس دنباله برآورد نمودار MaxMEWMV و نمودارهای MEWMV و MEWMS میباشند. در همه نمودارها بجز نمودار MEWMV به طور قطع فرض میشود که ميانگين فرایند نمودارهاي کنترل نمودارکنترل شوهارت مدلهاي تعریف شده بینظمی شرطی تجزیه آزمون دو نمونهاي احتمال تبدیل انتگرال دامنه متحرک نسبت درستنمایی EWMA چندگانه تحقیقات انجام شده گوررو و کاسمانو[ ] تنگ و بارنت[ ] لوینسون و همکاران[ ] لین و یه[ ] خو وکواه[ 3 ] سورتیهادي و همکارانش[ 9 ] هاوکینز[ ] سال در طول پایش فرایند تحت کنترل باقی میماند بنابراین اگر شيفت در ميانگين اتفاق بيفتد درکارایی این نمودارها تأثير می گذارد. آخرین تحقيقات نشان میدهد که کارایی نمودارهای MEWMS وMEWMV که توسط هوانگ[ 8 ] تعریف شدهاند در پایش پراکندگی فرایند چندمتغيره با مشاهدات انفرادی بهتر از روشهای موجود میباشند. در روشهای پيشنهادی توسط استادشریفی [] به جای استفاده از Trace از فاصله بر اساس و نمودارکنترل یه و همکاران[ 9 ] بين عناصر قطری برآورکننده از مقدار انتظاری آن استفاده میشود. نتایج شبيهسازی نشان میدهد که کاربرد این آمارهها به طور قابل توجهی توانایی کشف تغييرات ماتریس کوواریانس فرایند را بهبود میدهد سوگیرا و ناگاو [] یه [8] هوانگ [8] استادشریفی[ ] هاوکینز نمودار V EWMLR Max MEWMV MEWMS, MEWMV MEWMSL, MEWMVL CUSUM چندگانه MEWMA نمودارکنترل جدول. مرور ادبيات براساس روش دنباله برآورد متفاوت میباشند. این نمودارها از وجود شيفت ميانگين اثر نمیگيرند. شوهارت استفاده از نمودار تجزیه در ميان نمودارهای توصيه میشود از آنجایی که در حالت کلی هر دو نمودار واریانس تعميم یافته و نسبت درستنمایی را پوشش میدهد. [] - روشهاي پیشنهادي پایش ماتریس واریانس کوواریانس در فاز در کنترل آماری فرایند چندمتغيره باید چند مشخصه کيفی همبسته به طور همزمان کنترل شوند. به عبارتی میبایست دو هدف محقق شوند. اوال باید بتوان با استفاده از یک ابزار کنترل مناسب به تحت کنترل بودن یا نبودن فرایند پی برد. ثانيا در زمان وقوع یک وضعيت خارج از کنترل امکان شناسایی مشخصههای کيفی عامل انحراف وجود داشته باشد. برای دستيابی به هدف اول از نمودارهای کنترل به عنوان ابزار مفيدی که تاکنون برای این منظور معرفی شدهاند استفاده میشود. MCUSUM دنباله برآورد نسبت درستنمایی چن و زنک [] سورتیهادي و همکارانش j.pqprc.ac.ir

4 توسعه روش هاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز در حالت تک متغيره نمودارهای شناخته شده S, R, نمودارهای استاندارد برای هدف پایش پراکندگی فرایند میباشد. []. با وجود اینکه بسط این روشها به حالت چندمتغيره اهميت زیادی در عمل دارد به روشهای نمودار کنترل برای پایش کوواریانس فرایند چندمتغيره توجه کمی شده است. شاید این کمبود بهبود به خاطر این است که نتایج آماری ماتریس کوواریانس نسبتا پيچيده است. بنابراین برخالف مسئله کنترل ميانگين فرایند کشف شيفت در ماتریس کوواریانس به طور منحصربهفرد آسان نيست. مشکل دیگر در طراحی روش کنترل چندمتغيره برای پراکندگی شناسایی پارامترهای خارج از کنترل فرایند است. وقتی نمودار کنترل عالمت خارج از کنترل میدهد در حالت چندمتغيره ضرورت پایش تغييرپذیری فرایند بيشتر است. ساختار نمودارهای کنترل پيشنهادی از قوانين آزمون فرض پيروی میکند. برای همه نمودارهای کنترل توزیع فرایند نرمال چندمتغيره با بردار ميانگين ثابت فرض میشود. ما فرض میکنيم اطالعات کافی از عملکرد تحت کنترل در دسترس است بنابراین ماتریس کوواریانس تحت فرض صفر کامال معين است. ما از ARL برای تعيين کارایی نمودارهای کنترل موردنظر استفاده میکنيم. به علت کمبود دانش مشخصات توزیع آمارهها ما از شبيهسازی مونتکارلو برای تعيين و مقایسه کارایی ARL استفاده میکنيم. سورتيهادی و همکارانش[ 9 ] الگوها یا مدلهای ممکن مختلفی برای شيفت در ماتریس کوواریانس فرض کردهاند. سه مورد خاص کاربردهای عملی کنترل کيفيت بيان شده و نمودارهای کنترل برای کشف این شيفتها پيشنهاد شده است. مورد I مربوط به شيفت در ماتریس کوواریانس درجایی که واریانس یک جزء به وسيله یک ثابت معين زیاد میشود و کوواریانس بين این جزء و اجزاء باقيمانده مطابق آن تغيير میکند. مورد II اساسا همان مورد I است به جز اینکه فاکتور تورم نامعين است. در مورد III ماتریس کوواریانس در همه اجزاء دریک ثابت نامعين ضرب میشود. این شيفت ویژه تغيير فرایند در همه متغيرهای افزایش یافته به وسيله همان فاکتور را نشان میدهد درحالیکه وابستگی بدون تغيير میماند. آماره آزمون برای هرمورد با استفاده از معيار نسبت درستنمایی به دست آمده است. نمودارهای شوهارت و CUSUM برای این آماره بيان شده است. در این تحقيق شيفت در ماتریس واریانس-کوواریانس مطابق با روش مقاله سورتيهادی و همکارانش در نظر گرفته شده است. به طوری که مقدار شيفت در مدلها معين می باشد و پراکندگی استاندارد یکی از مشخصههای کيفی به طور معين افزایش یا کاهش یابد در حالی که دیگری ثابت بماند. با توجه به شيفت تعریف شده آمارههای جدیدی برای کشف این شيفت بيان میشود. نمودارهای کنترل این آمارهها بيان شده و با نمودارهای کنترل بيان شده در مقاله سورتيهادی و همکارانش مقایسه میشود. بردار متغيره,,..., نمونه تصادفی از توزیع نرمال p است. این بردارها اندازههای P مشخصه وابسته فرایند را بيان میکنند. در آمارههای معرفی شده نمودارهای کنترل استاندارد فرض میشود به طوریکه معين فرض میشود و ميانگين فرایند ثابت در نظر گرفته میشود. در این آمارهها برآوردکننده ماتریس واریانس-کوواریانس به صورت حاصل تفریق برآوردکننده از مقدار اوليه آزمون فرض مورد نظر انجام میشود. 4- معرفی آماره تعریف میشود و در این روش برآوردکنندهای که برای ماتریس واریانس-کوواریانس پيشنهاد میشود به صورت میباشد. سپس برای انجام آزمون فرض مورد نظر آماره آزمون برابر تفاضل برآوردکننده از ماتریس واریانس تعریف میشود. ) ( برای کشف شيفت در ماتریس واریانس-کوواریانس آماره تعریف شده در دو حالت با حدود کنترل مقایسه میشود. در حالت اول عبارت مورد نظر به صورت رابطه )( محاسبه میشود: [ ] ) ( در حالت دوم عبارت مورد نظر به صورت رابطه )3( محاسبه میشود و سپس از EWMA این عبارت برای مقایسه با حدود کنترل استفاده میشود. [ ] ) 3( جلد - شماره 4- بهار 43

5 و رسول نورالسناء و ثمینه کابلی 4 - مثالهایی از کاربرد روشهاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس براي کشف وضعیت خارج از کنترل برای درك بهتر روشهای جدید ارائه شده و استفاده از آمارههای پيشنهادی مثالهایی که شامل دو و سه مشخصه کيفی همبسته است بررسی خواهد شد. فرض کنيد فرایندی شامل چند مشخصه کيفی است که این مشخصهها باید به طور همزمان کنترل شوند. برای این منظور هدف استفاده از آمارههای تعریف شده برای کشف وضعيت خارج از کنترل فرایند در حالتی است که تغيير در ماتریس واریانس-کوواریانس به وجود میآید. بنابراین ابتدا باید حدود کنترل محاسبه شود سپس از آمارهها جهت کنترل فرایند استفاده خواهد شد. برای این منظور از دادههای شبيهسازی و نرم افزار Matlab استفاده میکنيم. ابتدا 3 مرتبه نمونهگيری تصادفی متوالی با اندازه نمونه از توزیع نرمال دو و سه متغيره با بردار ميانگين و ماتریس همبستگی و ماتریس واریانس-کوواریانس به صورت زیر )با فرض اینکه این مقادیر از پيش تعيين شدهاند( توليد میکنيم. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) ( )9( برای محاسبه حدود کنترل نمودار آمارههای مورد نظر مقدار α را برابر / در نظر میگيریم. بر این اساس اندازه ARL تحت کنترل به وسيله رابطه زیر محاسبه میشود: ) 9( سپس حدود کنترل نمودارهای پيشنهادی را برای رسيدن به ARL تحت کنترل محاسبه میکنيم برای این منظور دادههای تصادفی نرمال با پارامترهای تعيين شده توليد کرده سپس حدود کنترل را برابر مقدار معينی فرض کرده و مقدار آمارهها را تا زمانیکه خارج از حد باالی کنترل قرار گيرد محاسبه و تعداد دفعات آن را به وسيله متغير RL شمارش میکنيم این کار را برای مرتبه تکرار کرده و مقدار ARL را به دست میآوریم درصورتی که این مقدار با مقدار ARL تحت کنترل برابر باشد حدود کنترل به دست آمده حدود کنترل مناسب برای هر یک از نمودارها میباشد. 4- بررسی حالتهاي مختلف تغییر در ماتریس واریانس-کوواریانس در این بخش به مقایسه روشهای پيشنهاد شده برای پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چند متغيره در فاز دو از طریق شبيه سازی و محاسبه متوسط طول دنباله یا ARL پرداخته میشود. به منظور سهولت در امر مقایسه تمامی طرحهای نمودار کنترل به گونهای طراحی شدهاند ARL که تحت کنترلی در حدود داشته باشند. ثابتهای هموار θ همگی برابر با / در نظر گرفته شده اند. البته باید توجه داشت که میتوان از ثابتهای هموار متفاوتی برای هر نمودار استفاده کرد. در این مطالعه شبيهسازی هر مقدار تخمينزده میشود. ARL با در شبيهسازیها به منظور رعایت سادگی و بار تکرار هردو برابر با فرض می شوند. به منظور شناسایی اثر همبستگی بين متغيرهای پاسخ از مقادیر متفاوتی برای ρ استفاده شده است که به طور مثال میتوان / /=ρ / را نام برد. در این بخش با اعمال تغيير در انحراف معيار هر یک از مشخصههای کيفی اقدام به توليد اعداد تصادفی شده است و این کار تا ایجاد یک وضعيت خارج از کنترل ادامه یافته است. با ایجاد یک وضعيت خارج از کنترل مقدار RL محاسبه شده است و این کار برای مرتبه تکرار شده و مقدار ARL محاسبه شده است. همچنين با در نظر گرفتن = / = / و اندازههای نمونه =n و =n مقدار UCL برای هر یک از نمودارها به دست آمده است. روشه یا و /9 و 9/3 حاصل میکنند. به ترتيب دارای حدود کنترلی برابر با میباشند و ARL تحت کنترلی در حدود را j.pqprc.ac.ir

6 ARL توسعه روش هاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز با در نظر گرفتن مقادیر فوق در هر یک از نمودارهای پيشنهادی حالتهایی که تغيير در انحراف معيار مشخصهها به صورت میباشد را بررسی کرده و به مقایسه حالتهای فوق میپردازیم. - تغییر در ماتریس واریانس- کوواریانس فرایند دومتغیره به صورت با اندازه نمونه =n یا با توجه به روش بيان شده برای محاسبه هر یک از آمارهها با ایجاد شيفت در انحراف معيار هر یک از مشخصههای کيفی یا مقادیر ARL مطابق با جدول زیر به دست آمده است سپس نمودار مربوط به آنها براساس شيفتهای مختلف رسم شده است. در این حالت پراکندگی استاندارد مشخصه کيفی معين افزایش مییابد در حالی که مشخصه کيفی میماند. مقادیر ARL انحراف معيار مشخصه کيفی به طور ثابت هر یک از آمارهها به ازای افزایش در n=( ρ=. و داده شده است. ) در جدول )( و نمودار کنترل آنها در شکل )( نشان برای مقایسه نمودارهای پيشنهادی در کشف وضعيت خارج از کنترل نسبت به تغيير در انحراف معيار مشخصه کيفی در فرایند دومتغيره نتایج کشف وضعيت خارج از کنترل با استفاده از نمودارهای سورتيهادی و و شوهارت همکارانش پيشنهادی مقایسه میکنيم. جدول : CUSUM )9( را بيان شده در مقاله با نتایج نمودارهای مقادیر ARL به ازای شيفت در انحراف معيارمشخصه کيفی در فرایند متغيره شکل δ : نمودار مقایسهای مقادیر ARL نمودارهای پيشنهادی به ازای شيفت در انحراف معيار مشخصه کيفی در فرایند متغيره ) n=( ρ =/ و همانطور که مالحظه میکنيد به ازای ميزان شيفت یکسان مقدار ARL به ازای شيفت در انحراف معيار مشخصه کيفی در نمودارهای پيشنهادی و کمتر از سایر نمودارهاست این بدین معناست که کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی با استفاده از نمودارهای پيشنهادی با تعداد نمونه کمتری نسبت به نمودار شوهارت و CUSUM انجام می- شود یعنی کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی با استفاده از نمودارهای پيشنهادی - سریعتر از سایر نمودارها انجام میشود. و تغییر در ماتریس واریانس- کوواریانس فرایند سهمتغیره به n= یا صورت یا با اندازه نمونه با توجه به روش بيان شده برای محاسبه هر یک از آمارهها با ایجاد شيفت در انحراف معيار یکی از مشخصههای کيفی یا یا مقادیر ARL مطابق با جدول )3( به دست آمده است 3 سپس نمودار مربوط به آنها براساس شيفت در ماتریس واریانس-کوواریانس یکی از متغيرها رسم شده است. در این حالت پراکندگی استاندارد مشخصه کيفی افزایش مییابد در حالی که مشخصه کيفی و به طور معين 3 مقادیر ARL مشخصه کيفی ثابت است. هر یک از آمارهها به ازای افزایش در انحراف معيار n=( ρ=. و 3 داده شده است Shewhart CUSUM Method و ) در جدول )3( و نمودار کنترل آنها در شکل )3( نشان Method 9/ 8/ 9/9 /38 9/ / 3/39 / ) n=( ρ =. و Method 3/9 9/ 99/8 9/8 9/9 / /99 / Cusum /8 39/9 / 8/ 9/ 8/ /8 /9 Shew-hart 9 / 98/ 39/ 8/3 /8 / /9 / / /3 /9 / جلد - شماره 4- بهار 43

7 ARL ARL رسول نورالسناء و ثمینه کابلی 3 جدول 3: مقادیر ARL به ازای شيفت در انحراف معيار مشخصه کيفی شکل 3 متغيره فرایند n=( ρ=. و ) و 3 3: نمودار مقایسهای مقادیر ARL به ازای شيفت در انحراف معيار مشخصه کيفی ρ=. n=( فرایند سهمتغيره و و کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی سریعتر از نمودار متد انجام میشود. با استفاده از نمودار متد - مقایسه مقادیر ARL نسبت به تغییر در تعداد نمونه در نمودارهاي پیشنهادي در این بخش جهت مقایسه عملکرد نمودارهای پيشنهادی نسبت به تغيير در تعداد نمونه با ایجاد شيفت در پراکندگی مشخصه کيفی مقادیر ARL و مقایسه میکنيم. جدول را در هر یک از نمودارها محاسبه کرده 9: مقادیر ARL نسبت به تغيير تعداد نمونه به ازای شيفت در پراکندگی مشخصه کيفی در نمودار فرایند دومتغيره / / /3 /9 / ( ρ =.) =n 3/9 9/ 99/8 9/8 9/9 / /99 / =n 8/9 9/ 3/9 9/ 8/9 /8 / / ) Method 3 /9 /39 / 39/ / 9/ 9/9 /8 Method 8/93 9/3 99/38 39/8 /39 9/ 3/ / δ Method Method برای مقایسه نمودارهای پيشنهادی در کشف وضعيت خارج از کنترل نسبت به تغيير در انحراف معيار مشخصه کيفی در فرایند 3 متغيره نتایج کشف وضعيت خارج از کنترل با استفاده نمودارهای پيشنهادی را با یکدیگر مقایسه میکنيم. همانطور که مالحظه میکنيد به ازای ميزان شيفت یکسان مقدار ARL به ازای شيفت در انحراف معيار مشخصه کيفی پيشنهادی در نمودار کمتر از نمودار پيشنهادی است. این بدین معناست که کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی پيشنهادی متد با استفاده از نمودار با تعداد نمونه کمتری نسبت به نمودار پيشنهادی متد انجام میشود یعنی کشف وضعيت خارج از شکل : 9 نمودار مقایسهای مقادیر ARL نسبت به تغيير تعداد نمونه در نمودار فرایند دومتغيره δ ( ρ =.) n=5 n= j.pqprc.ac.ir

8 ARL توسعه روش هاي پایش ماتریس واریانس-کوواریانس چندمتغیره در فاز همانطورکه مالحظه میکنيد به ازای ميزان شيفت یکسان مقدار ARL در نمودار پيشنهادی به ازای شيفت در مشخصه کيفی با افزایش اندازه همبستگی کاهش مییابد این بدین معناست که کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی با استفاده از نمودار پيشنهادی با افزایش ضریب همبستگی سریعتر انجام میشود. همانطورکه مالحظه میکنيد به ازای ميزان شيفت یکسان به ازای شيفت در مشخصه کيفی مییابد با افزایش تعداد نمونه کاهش این بدین معناست که کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی با استفاده از نمودار پيشنهادی با افزایش تعداد نمونه سریعتر انجام میشود. بنابراین نمودارهای پيشنهادی در کشف وضعيت خارج از کنترل نسبت به تغيير در تعداد نمونه عملکردی مشابه دارند یعنی کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصههای کيفی با افزایش تعداد نمونه سریعتر انجام میشود. - نتیجهگیري جدول : مقادیر ARL نسبت به تغيير تعداد نمونه به ازای شيفت در پراکندگی مشخصه کيفی شکل در نمودار فرایند دومتغيره / / /3 /9 / ( ρ =/ ) =n 9/ 8/ 9/9 /38 9/ / 3/39 / =n 8/9 99/3 / 9/ /3 9/99 /3 /8 : نمودار مقایسهای مقادیر ARL نسبت به تغيير تعداد نمونه در نمودار ( ρ =.) فرایند دومتغيره تاکنون نمودارها و روشهای مختلفی برای پایش ماتریس واریانس-کوواریانس فرایندهای چندمتغيره ارائه شده است نقایصی که در این نمودارها وجود دارد نياز به استفاده از نمودارهای دیگری که بتواند کارایی الزم را در عمل داشته باشد بسيار نمایان میسازد. در نمودارهای پيشنهادی در این تحقيق برای کشف سریعتر وضعيت خارج از کنترل به ازای تغيير در انحراف معيار مشخصههای کيفی از آمارههای و برای کنترل فرایند استفاده شده است. در هر آماره برآوردکنندهای برای ماتریس واریانس-کوواریانس تعریف میشود و آزمون فرض مورد نظر انجام میشود. در این حالت آماره آزمون حاصل تفریق برآوردکننده از مقدار اوليه میباشد براین اساس دو آماره پيشنهادی توسعه داده شده است. در این روشها مطابق روشهای بيان شده در مقاله سورتيهادی و همکاران [9] شيفت در انحراف معيار مشخصههای کيفی در حالت دومتغيره و سهمتغيره با یکدیگر مقایسه شده است عملکرد روشها از طریق شبيهسازی مورد مقایسه قرار گرفت و مطالعات شبيهسازی نشان داد که در حالتی که شيفت در انحراف معيار یکی از مشخصههای کيفی ایجاد میشود آمارههای پيشنهادی در و برای شناسایی شيفت در انحراف معيار مشخصههای کيفی بهتر از آمارههای شوهارت و CUSUM معرفی شده توسط سورتيهادی و همکاران )9( کار میکند یعنی کشف وضعيت خارج از کنترل انحراف معيار مشخصه کيفی با استفاده از این نمودارها سریعتر از نمودارهای شوهارت و CUSUM انجام می- شود. همچنين حساسيت نمودارهای پيشنهادی نسبت به تغيير در تعداد نمونه بررسی شده است نتایج بررسی نشان میدهد که حساسيت نمودارهای پيشنهادی در کشف وضعيت خارج از کنترل نسبت به تغيير در تعداد نمونه بهبود مییابد δ n=5 n= جلد - شماره 4- بهار 43

9 رسول نورالسناء و ثمینه کابلی [ ] Yeh A.B., and Lin D.K.J., A new variables control chart for simultaneously monitoring multivariate process mean and variability. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, 9, 4-59, (). [ ] Khoo M.B., and Quah S.H., Multivariate control chart for process dispersion based on individual observations. Quality Engineering, 5, , (3). [ ] Surtihadi J., Raghavachari M., Runger G. Multivariate control charts for process dispersion. International Journal of Production Research;4:993 39, (4). [ ] Hawkins D.M., Regression adjustment for variables in multivariate quality control. Journal of Quality Technology, 5, 7-8, (993). [ ] Yeh A.B., Lin D.K.J., Zhou H. and Venkataramani C., A multivariate exponentially weighted moving average control chart for monitoring process variability. Journal of Applied Statistics, 3, , (3). [ ] Sugiura N. and Nagao H., Unbiasedness of some test criteria for the equality of one or two covariance matrices. The Annals of Mathematical Statistics, 3, , (968). [ ] Yeh A.B., Huwang L. and Wu C.W., A multivariate EWMA control chart for monitoring process variability with individual observations. IIE Transactions on Quality and Reliability Engineering, 37, 3-35, (5). [ ] Ostadsharifi Memar A., Akhavan Niaki T., New Control Charts for Monitoring Covariance Matrix with Individual Observations. Quality and Reliability Engineering International; 5:8 838, (9). [ ] Chan L.K. and Zhang J. Cumulative sum control charts for the covariance matrix. Statistica Sinica,, , (). [ ] Ryan T.P., Statistical Methods for Quality Improvement; New York: Wiley, (989). مراجع ] [ نورالسناء رسول ) 3 ( "کنترل کيفيت آماری" انتشارات دانشگاه علم و صنعت ایران. نيرومند حسينعلی ) 3 ( "تحليل آماری چندمتغيری [ ] کاربردی" انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد. [ ] Lowry CA., Montgomery DC., (995),A review of multivariate control charts. IIE Transactions; 7:8 8. [ ] Woodall WH, Montgomery DC, Research issues and ideas in statistical process control. Journal of Quality Technology; 3(4): , (999). [ ] Wierda S.J., Multivariate Statistical Process Control, Wolters-Noordhoff, Groningen, The Netherlands, (994). [ ] Mason R.L., Champ C.W., Tracy N.D., Wierda S.J., and Young J.C., Assessment of multivariate process control techniques. Journal of Quality Technology, 9, 4-43, (997). [ ] Alt F.B., Multivariate quality control. In Encyclopedia of Statistical Sciences, Vol. 6, ed. S. Kotz and N.L. Johnson (New York: Wiley), pp. -, (985). [ ] Woodall WH., Controversies and contradictions in statistical process control. Journal of Quality Technology;3:34 35, (). [ ] Guerrero-Cusumano J.L., Testing variability in multivariate quality control: A conditional entropy measure approach. Information Sciences, 86, 79-, (995). [ ] Tang P.F., and Barnett N.S., Dispersion control for multivariate processes. The Australian Journal of Statistics, 38, 35-5, 53-73, (996a, 996b). [ ] Levinson W., Holmes D.S., and Mergen A.E., Variation chart for multivariate processes. Quality Engineering, 4, , (). Cumulative Sum Control Chart Exponentially weighted Moving Average 3 Average Run Lengths j.pqprc.ac.ir

10 بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار کنترل عالمت * مجید نوجوان استادیار دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه آزاد اسالمی واحد تهران جنوب مسعود علیشاهی دانشجوی کارشناسی ارشد دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه آزاد اسالمی واحد تهران جنوب چکیده نمودار عالمت یکی از معمولترین نمودارهای ناپارامتری است که از آن برای کنترل مرکزیت فرآیندهایی با توزیع نامعلوم یا غيرنرمال استفاده میشود. با توجه به اثر خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودارهای کنترل در این مقاله تأثير خطای اندازهگيری با مدل جمعپذیر بر روی عملکرد نمودار عالمت بررسی شده است. برای این کار یک برنامهی شبيهسازی تهيه شده که متوسط طول دنبالهی نمودار عالمت را به ازای سه توزیع متفاوت و در دوحالت آگاهی یا عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگيری محاسبه میکند. نتایج حاصل از شبيهسازی نشان میدهد که عملکرد نمودار عالمت برای هر سه توزیع و در هر دو حالت تحت تأثير خطای اندازهگيری تضعيف و با افزایش واریانس خطای اندازهگيری تأثير خطا بر عملکرد نمودار افزایش مییابد. همچنين تاثير استفاده از افزایش تعداد دفعات اندازهگيری بر کاهش تأثير خطای اندازهگيری نيز در نمودار عالمت بررسی شده است. نتایج نشان میدهد که اگر چه استفاده از این روش در حالت آگاهی از وجود خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودار اثر مثبت دارد ولی در صورت عدم آگاهی از وجود خطا این روش عملکرد نمودار عالمت را تضعيف میکند. کلمات کلیدی نمودار کنترل ناپارامتری نمودار عالمت خطای اندازهگيری اندازهگيری چندگانه مقدمه - نمودار کنترل یکی از مهمترین ابزارهای کنترل فرآیند آماری است که برای تشخيص تغييرات با دليل در فرآیند بکار میرود. همچنين برای کنترل فرآیندهایی با توزیع نامشخص یا غير نرمال از نمودار ناپارامتری استفاده میشود. پارنت ][ و رینولدز ][ نخستين محققانی بودند که نمودارهای کنترل را بر اساس رتبههای ترتيبی عالمت معرفی کردند. مکگيلکریست و وودیر ]3[ از روش آزاد توزیع جمع تجمعی برای نظارت بر ميزان بارش استفاده و عملکرد آن را بررسی نمودند. بکير ]4[ و بکير و رینولدز ]5[ نمودار کنترل ناپارامتری را با استفاده از آمارهی رتبه عالمت ویلکاکسون معرفی کردند. پارک ]6[ استفاده از نمودارهای کنترل ناپارامتری برای توزیع نامتقارن را پيشنهاد و عملکرد نمودارهای عالمت را عالمتدار رتبه و در این حالت بررسی نمود. پارک و رینولدز ]7[ نمودارهای ناپارامتری از نوع جمع تجمعی و شوهارت جایابی آمارهی اساس بر را پيشنهاد و عملکرد آنها را بررسی کردند. امين و سيرسی] 8 [ خطی عملکرد ميانگين متحرک موزون عالمتدار رتبه 3 نمایی را با استفاده از آمارهی ویلکاکسون مطالعه کردند. هاکل و لدالتر ]9[ و ][ یک نمودار کنترل ناپارامتری جدید مبتنی بر رتبه پيشنهاد و عملکرد آن را ارزیابی نمودند. امين و همکاران ][ و آرنولد ][ از نمودارهای کنترل ناپارامتری از نوع شوهارت و روش توزیع آزاد جمع تجمعی و بر اساس آمارهی عالمت برای دادههای گروهبندی شده استفاده کردند. چاکرابورتی و همکاران ]3[ نيز نمودار ناپارامتری مبتنی بر آمارهی من-ویتنی را معرفی و عملکرد آن را بررسی نمودند. نورالسناء و صدیقی ]4[ مدلی برای بهينهسازی نمودار عالمت با اندازه نمونه متغير ارایه کردند. همچنين نوجوان و غفاری ]5[ عملکرد نمودار من-ویتنی را در صورت وجود خطای تخمين در پارامتر بررسی نمودند. یکی از عواملی که میتواند بر عملکرد نمودارهای کنترل تأثير بگذارد وجود خطای اندازهگيری در هنگام تهيه مشاهدات نمونهای است. ماراوالکيس و همکاران [6] خطای اندازهگيری را یک معيار اعوجاج یا انحراف معمول در فعاليتهای کاربردی دنيای واقعی * (Corresponding author) mnojavan@azad.ac.ir 3//3 تاریخ دریافت: 33//3 تاریخ پذیرش: جلد 4- شماره - بهار 3 3

11 34 مجید نوجوان مسعود علیشاهی توصيف کردهاند که بر روی خروجی فرآیند تأثيرگذار است. مطابق تعریف ماراوالکيس [7] خطای اندازهگيری زمانی مطرح میشود که باید متغير X کنترل شود اما به جای آن متغير دیگری به نام Y که با X همبستگی دارد اندازهگيری میشود. اثر خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودارهای کنترل پارامتری توسط برخی از محققان بررسی شده است. در حالتیکه از آن برای کنترل رحيم ]8[ در طراحی نمودار یک مدل استفاده میشود غيرنرمال فرآیند ميانگين یک معرفی کرد که در محاسبات آن وجود خطای اقتصادی اندازهگيری نيز در نظر گرفته شده است. ميتاگ و استمن ]9[ بررسی تأثير خطای اندازهگيری را بر عملکرد نمودارهای و نشان دادند که خطای اندازهگيری میتواند توانایی نمودار در تشخيص سریع تغييرات فرآیند را به شدت کاهش دهد. استمن خطای اندازهگيری را بر نمودارهای بررسی و عملکرد این نمودار را با عملکرد اثر ][ و ویس نمودار شوهارتی در حالت وجود خطای اندازهگيری مقایسه کردند. آنها با استفاده از تحليل حساسيت نشان دادند که در تغييرات کوچک فرآیند عملکرد نمودار بر نمودار برتری دارد. شور ]9[ شرایط خطای اندازهگيری را برای رسيدن مقدار متوسط طول دنبالهی نمودار در حالت تحت کنترل )ARL()( به یک مقدار مشخص معرفی کرد. چانگ و گان ][ اهميت پایش ابزار اندازهگيری را در عملکرد نمودارهای کنترل بررسی کردند. لينا و وودال ]3[ اثر خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودارهای کنترل شوهارتی و لينا و همکاران ]4[ اثر این خطا را بر عملکرد نمودارهای کنترل چندمتغيره بررسی کردند. ماراوالکيس و همکاران ]5[ عملکرد ميانگين متحرک موزون نمایی را در صورت وجود خطای اندازهگيری بررسی و نشان دادند که خطای اندازهگيری عملکرد این نمودار را در تشخيص تغييرات تضعيف میکند. آنها افزایش تعداد دفعات اندازهگيری را به عنوان یک راه حل برای کاهش اثر خطا پيشنهاد کردند. کاستا و کاستاگليوال ]6[ اثرات نامطلوب خودهمبستگی و خطای اندازهگيری را بر عملکرد نمودار مطالعه کرده و برای مقابله با اثر خطای اندازهگيری افزایش تعداد دفعات اندازهگيری و برای مقابله با اثر خودهمبستگی توليد نمونهها با توجه به زمان توليد و بدون همسایگی را پيشنهاد دادند. ماراوالکيس ]7[ تاثير خطای اندازهگيری بر عملکرد ميانگين متحرک موزون نمایی را بررسی و نشان داد که عملکرد این نمودار شدیدا تحت تأثير خطای اندازهگيری قرار میگيرد. همچنين او ميزان تأثير خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودارهای روش آزاد توزیع جمع تجمعی و ميانگين متحرک موزون نمایی را مقایسه و نتيجه گرفت که در حضور خطای اندازهگيری در تغييرات کوچک نمودار روش آزاد توزیع جمع تجمعی و در تغييرات بزرگ نمودار ميانگين متحرک موزون نمایی عملکرد بهتری دارند. اميننيری و جابری ]8[ نيز تأثير خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودار ميانگين متحرک موزون نمایی انطباقپذیر را بررسی و نتيجه گرفتند که با افزایش واریانس خطای اندازهگيری توان این نمودار برای کشف تغييرات کاهش مییابد ولی این کاهش بسيار کمتر از نمودار ميانگين متحرک موزون نمایی معمولی است. با بررسی تحقيقات قبلی مشخص میشود که اگر چه نمودارهای ناپارامتری در کنترل فرایندهای غير نرمال کاربرد زیادی دارند اما اثر خطای اندازهگيری که تاثير زیادی بر عملکرد این نمودارها دارد تاکنون بررسی نشده است. اندازهگيری بر عملکرد نمودار در این مقاله اثر خطای ناپارامتری عالمت بررسی شده است. برای این کار دو حالت کلی در نظر گرفته شده است که در حالت اول مدل مورد استفاده خطای اندازهگيری و پارامترهای آن مشخص بوده و نسبت به آن آگاهی وجود دارد و در حالت دوم فرض شده است که هنگام طراحی نمودار از وجود خطای اندازهگيری آگاهی وجود ندارد. ساختار مقاله بدین صورت است که در بخش دوم نمودار عالمت و نحوهی استفاده از آن تشریح شده است. در بخش سوم اثر خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودار عالمت در هر دو حالت آگاهی و عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگيری و برای سه توزیع نرمال یکنواخت و الپالس ارزیابی شده است. در بخش چهارم اثر افزایش تعداد دفعات اندازهگيری بر عملکرد نمودار عالمت در صورت وجود خطای اندازهگيری در هر دو حالت آگاهی و عدم آگاهی از وجود خطا بررسی شده است. نهایتا در بخش پنجم نتيجهگيری آمده است. 3- نمودار ناپارامتری عالمت نمودار عالمت یکی از مشهورترین نمودارهای ناپارامتری است که از آن برای نظارت بر مرکزیت )ميانگين یا ميانه( فرآیند استفاده میشود. فرضيات مورد نياز برای استفاده از این نمودار شامل: استقالل مشاهدات و پيوسته بودن توزیع احتمال بوده و نيازی به فرض متقارن بودن توزیع نيست. برای تشکيل آماره عالمت باید تمام مشاهدات یک نمونه با مقدار هدف )ميانگين یا ميانه( مقایسه شوند. در این حالت اگر مقدار یک مشاهده بيش از مقدار هدف باشد عالمت )+( و در غير این صورت یک عالمت )-( برای آن مشاهده در نظر گرفته شده و تعداد عالمت های + و - برای j.pqprc.ac.ir

12 بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار کنترل عالمت 3 هر نمونه مشخص میشود. یکی از آمارههای مورد استفاده در نمودار عالمت به صورت زیر تعریف میشود: که در آن: { ( ) مقدار هدف )ميانه ميانگين یا صدکی از توزیع( است که مورد پایش و نظارت قرار میگيرد j مشاهده (,, = j( در نمونه i ام و منفی در نمونه i ام را نشان میدهند. ام مجموع عالمتهای مثبت و از آنجا که توزیع مشاهدات پيوسته فرض میشود { } ( ) مشاهدات گرد شده و بوده و به صورت نظری هرگز که حالت اتفاق نمیافتد اما در عمل ممکن است در شمازش تعداد عالمتها صفرهایی مشاهده شوند. در هر صورت تا زمانی که تعداد صفرها بيش از اندازه نباشد محاسبه محاسبه شده بیاشکال است. اگر مطابق رابطه و استفاده از حدود فرآیند تحت کنترل بوده و ميانگين تغيير نکند احتمال اینکه یک مشاهده عالمت + یا بدست آورد برابر 5 میباشد. صفر بنابراین مقدار صفر متقارن است. حدود و مقدار مورد انتظار نيز برابر کنترل نمودار عالمت نسبت به در نمودار عالمت برای دسترسی به یک احتمال هشدار اشتباه مشخص در حالت تحت کنترل ) P( باید از جداول احتمالی تعریف شده برای آماره استفاده جهت تعيين شود. برای این کار احتمال هشدار با { } حد )حدود( نمودار توجه به رابطه کنترل باالی نمودار عالمت است. مشخص میشود که در آن حد پس از تعيين حد )حدود( نمودار اگر مقدار آماره عالمت در یک نمونه از این مقادیر تجاوز کند ( ( فرآیند خارج از کنترل در نظر گرفته میشود. در نمودار عالمت دو طرفه یک حد کنترل باال و یک حد کنترل پایين برای رسيدن به یک احتمال هشدار نادرست ) P( و یا ميانگين طول دنباله مشخص در حالت تحت کنترل میشوند که در آن است. )ARL ( انتخاب ميانگين طول دنباله )ARL( نمودار عالمت دو طرفه با استفاده از رابطهی { } محاسبه میشود. مقادیر ARL نمودار عالمت برای حالت یک طرفه در جهت مثبت به صورت مقدار { } ARL بدست میآید. نمودار عالمت در حالت تحت کنترل برای تمام توزیعها با ميانه یکسان برابر است. بزرگترین مقدار ممکن برای ARL تحت حال کنترل نمودار عالمت در طرحهای متقارن یک و طرفه و دو طرفه در صورتيکه 5 است. باشد به ترتيب برابر با - بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار عالمت یکی از معمولترین مدلهای خطای اندازهگيری در بررسی عملکرد نمودارهای کنترل مدل جمعپذیر است که در بسياری از مقاالت از آن استفاده میشود ]6[ ]7[ ]3[ ]4[ و ]6[. مدل جمعپذیر خطای اندازهگيری به صورت زیر میباشد: در رابطه,,, و در حالت تحت کنترل و به ترتيب ميانگين و واریانس مشخصه )X( ميزان تغيير در ميانگين )در حالت خارج از کنترل( را نشان میدهند. همچنين A و بوده و مقادیر ثابت B خطای اندازهگيری است که دارای توزیع نرمال با ميانگين صفر و واریانس است. با توجه به وجود خطای اندازهگيری مقدار اندازهگيری شده از فرآیند ( ) در حالت تحت کنترل دارای ميانگين واریانس است. و برای بررسی اثر خطای اندازهگيری بر نمودار عالمت متوسط طول دنباله )ARL( نمودار عالمت در سه توزیع مختلف فرآیند )X( شامل: توزیع یکنواخت )به عنوان توزیع دنباله نازک( توزیع نرمال )به عنوان توزیع متداول( و توزیع الپالس )به عنوان توزیع دنباله پهن( بررسی شده است. رابطه )3( به ترتيب تابع چگالی توزیعهای نرمال با پارامترهای و توزیع یکنواخت با جلد 4- شماره - بهار 3

13 3 مجید نوجوان مسعود علیشاهی - آگاهی از وجود خطای اندازهگیری پارامترهای مرکز θ )3( و λ را نشان میدهند. θ و λ و تابع چگالی الپالس با پارامترهای مرکز λ θ θ λ θ λ و λ λ و برای بررسی عملکرد نمودار عالمت در توزیعهای مختلف پارامترهای آنها به گونهای در نظر گرفته شدهاند که ميانگين هر سه توزیع در حالت کنترل و واریانس آنها باشد. برای رسيدن به این حالت در توزیع یکنواخت مقدار پارامتر 3 λ و در توزیع الپالس λ در نظر گرفته شده است. همچنين حدود کنترل نمودار عالمت به صورت و در نظر گرفته شدهاند. در این حالت ميانگين طول دنباله نمودار عالمت مساوی 5 و نرخ هشدار نادرست آن برابر ۰۰ است. برای محاسبه طول متوسط دنباله در نمودار عالمت با وجود خطای اندازهگيری یک برنامه با استفاده از نرمافزار MATLAB تهيه شده است شبيهسازی میکند. که عملکرد نمودار را در حاالت مختلف مقادیر محاسبه شده در برنامهی شبيهسازی با بار تکرار به دست آمدهاند. برای بررسی درستی عملکرد برنامهی شبيهسازی مقادیر ARL در حالت عدم وجود خطای اندازهگيری با مقادیر مشخص شده در مراجع و جداول استاندارد مقایسه شده است که این مقایسه نشاندهندهی اختالف ناچيز بين مقادیر به دست آمده در برنامهی شبيهسازی و مقادیر ارائه شده در مراجع است. بنابراین میتوان از برنامهی شبيهسازی برای بررسی عملکرد نمودار عالمت در حالت وجود خطای اندازهگيری نيز استفاده کرد. در ادامه عملکرد نمودار عالمت با خطای اندازهگيری در دو حالت آگاهی و عدم آگاهی از وجود خطا بررسی شده است. در صورتیکه مدل و پارامترهای خطای اندازهگيری مشخص باشد میتوان با استفاده از این اطالعات محاسبه آماره عالمت را اصالح نمود. در این حالت متغير اندازهگيری شده در تحت کنترل )Y( به جای داشتن ميانگين در شرایط تحت کنترل( دارای ميانگين شرایط )ميانگين فرآیند X بوده و باید مشاهدات نمونهای با این مقدار مقایسه و عالمت آنها تعيين شود. از طرفی با توجه به اینکه در این مقاله ميانگين فرآیند در حالت تحت کنترل در نظر گرفته شده است ميانگين متغير اندازهگيری شده )Y( در حالت تحت کنترل برابر بوده و باید مشاهدات نمونهای با این مقدار مقایسه شوند. عملکرد نمودار عالمت در شرایط آگاهی از وجود خطا به ازای مقادیر مختلف پارامترهای مدل خطای اندازهگيری متفاوت در و نرمال یکنواخت و الپالس بررسی شده است. سه توزیع برای بررسی اثر تغيير پارامترهای مدل خطا در هر حالت فقط یک پارامتر تغيير کرده و سایر پارامترهای مدل ثابت در نظر گرفته شده است. الف( تغییرات پارامتر A چون آمارهی عالمت در حالت آگاهی از وجود خطا با توجه به مقدار پارامتر A محاسبه میشود و از طرفی این پارامتر فقط در ميانگين متغير اندازهگيری شده )Y( تاثير میگذارد بنابراین در این حالت تغييرات پارامتر A تاثيری بر عملکرد نمودار عالمت ندارد. این موضوع به ازای ب( تغییرات پارامتر B با توجه به اینکه مقدار تمامی مقادیر B و C صادق است. A تأثيری بر روی محاسبات ندارد عملکرد نمودار عالمت به ازای مقادیر مختلف B و در حالت بررسی شده است. جدول مقادیر ARL نمودار عالمت را در این حالت نشان میدهد. همانطور که در جدول مشاهده میشود درهر سه توزیع تغييرات پارامتر B تأثير محسوسی بر روی مقادیر ARL در حالت تحت کنترل نمیگذارد اما در حالت خارج از کنترل وقتی است مقادیر ARL )و در واقع تأثير نامطلوب خطا( به مقدار قابل توجهی افزایش مییابد. با افزایش مقدار B به تدریج اثر آن بر روی ARL و در نتيجه تأثير نامطلوب خطا بر عملکرد نمودار کاهش مییابد. j.pqprc.ac.ir

14 نرمال نرمال یکنواخت یکنواخت الپالس الپالس بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار کنترل عالمت 3 جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت با خطای اندازهگيری به ازای مقادیر مختلف B )در حالت آگاهی از وجود خطا( جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت با خطای اندازهگيری به ازای مقادیر مختلف C )در حالت آگاهی از وجود خطا( C B توزیع Δ بدون خطا توزیع Δ بدون خطا / / 3 / / 3 / 55 / 76 5 / / 5 54 / / 3 55 / 57 / 55 / / / / / 37 /5 4 / 5 45 / 3 5 / 56 / 4 65 / / 66 /5 4 / 5 88 / 66 5 / / 48 4 / 86 / 5 / 6 6 / 4 7 / 36 8 / 9 / 8 5 / 67 /5 / / / 46 / 69 3 / 9 4 / 78 / / 6 / 34 / 4 / 49 / 68 / 8 / 5 / 6 5 / 67 7 / 75 6 / 45 5 / 9 /5 / 4 / 78 / 56 / / 7 / / 6 / 8 / 45 / 35 / 9 /5 / 6 / 48 / 3 / 9 / 8 /5 / 6 / 9 / / 6 / 3 / 48 3 / / / / 3 / 4 / 7 / 9 3 / / / 9 / 4 / / / 5 / / 5 58 / / / 59 5 / 66 /5 8 / 95 8 / 84 8 / 3 8 / / / 94 / / 56 / 85 / / 74 3 / 9 7 / 85 / 5 / 48 5 / 66 5 / 7 54 / 58 / 8 /5 8 / / 94 8 / 75 8 / 7 8 / 46 / / 56 7 / 85 / 6 / 75 / 76 /5 / 5 / 8 / 8 / 33 / 7 /5 / / 8 / 63 / 93 3 / 58 5 / 8 / / / 3 / 3 / / / / / / 6 / 38 / 65 / 3 /5 / / 45 / 4 / / /5 / / / / 6 / 5 / 45 3 / / / 539 / / / 3 / / / / / / 3 / 5 / 56 / 3 5 / 6 55 / / 3 5 / / 88 / 56 / 3 56 / / / 5 5 / 56 /5 6 / / 7 34 / 3 / 94 9 / 64 /5 6 / 64 3 / 3 9 / / / / 7 / 3 / 68 / 7 5 / 48 4 / 35 3 / 8 / 3 / 68 4 / 7 4 / 8 5 / 83 7 / 75 / 7 /5 / 86 4 / / / 3 / 87 /5 / 87 / 93 / 3 / 34 / 85 4 / / / 35 / / 5 / 39 / 37 / / 35 / 4 / 44 / 46 / 63 / /5 / 5 / 45 / 9 / 8 / 6 /5 / 6 / 8 / / / 6 / 45 3 / / 8 / 3 / / 8 / 7 3 / / 9 / 9 / 9 / / 5 / 3 پ( تغییرات پارامتر برای بررسی اثر تغيير پارامتر نمودار به ازای مقادیر بر نمودار عالمت عملکرد این و در حالت تعيين و نتایج در جدول نشان داده شده است. در این شرایط نيز مقدار A تأثيری در عملکرد نمودار ندارد. با توجه به جدول مشخص میشود که برای هر سه توزیع در حالتی که فرآیند تحت کنترل است تغييرات نسبت بر روی مقادیر ARL و در نتيجه عملکرد نمودار تأثير مشخصی نمیگذارد. در حالتی که فرآیند خارج از کنترل است با افزایش نسبت ميزان تأثير نامطلوب خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودار افزایش و قدرت تشخيص تغييرات در نمودار تضعيف میشود. البته در توزیع /3 /5=Δ و در یکنواخت ARL مشاهده نمیشود. برای مقادیر روند صعودی جلد 4- شماره - بهار 3

15 نرمال یکنواخت الپالس 3 مجید نوجوان مسعود علیشاهی 3- عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگیری در صورت عدم وجود آگاهی از خطای اندازهگيری مقدار آمارهی عالمت بدون آگاهی از این تغيير محاسبه و به جای ميانگين ) از ) استفاده میشود مقایسه میشوند. مقدار اندازهگيری شده در حالت تحت کنترل ( ميانگين فرآیند در حالت تحت کنترل ) و مقادیر مشاهدات نمونه با مقدار عملکرد نمودار عالمت در حالت عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگيری و به ازای مقادیر مختلف پارامترهای مدل خطا در ادامه بررسی شده است. همانطور که در جدول 3 مشاهده میشود با افزایش پارامتر A مقدار ARL نمودار در حالت تحت کنترل کاهش و احتمال اخطاردهی اشتباه نمودار افزایش یافته است. در حالت خارج از کنترل نيز با افزایش پارامتر A مقدار ARL کاهش و بنابراین حساسيت نمودار نسبت به تغييرات افزایش یافته است. الزم به ذکر است که اگر تغيير در فرآیند به صورت کاهش در ميانگين ARL با افزایش پارامتر باشد A مقدار نمودار نسبت به تغييرات کاهش مییابد. ب( تغییرات پارامترهای B و C افزایش و حساسيت A A و با الف( تغییرات پارامتر A و ف ضر عملکرد نمودار عالمت به ازای مقادیر مختلف پارامتر بررسی و مقادیر ARL در جدول 3 نشان داده شده است. جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت به ازای مقادیر مختلف A )در حالت عدم آگاهی از وجود خطا( به علت تأثير زیاد پارامتر بر عملکرد نمودار عالمت برای بررسی تغيير پارامترهای B و C مقدار پارامتر گرفته شده است. شرایطی در این حالت در نظر عملکرد نمودار عالمت مشابه است که از ابتدا نسبت به وجود خطای اندازهگيری آگاهی وجود داشته باشد. بنابراین برای مشاهده و تحليل نتایج این قسمت میتوان به جداول و مراجعه نمود. 4- افزایش تعداد دفعات اندازهگیری A توزیع Δ بدون خطا یکی از روشهای کاهش تأثير خطای اندازهگيری افزایش تعداد دفعات اندازهگيری از مشخصه است. در این حالت هر واحد نمونه بار اندازهگيری و از ميانگين مقادیر استفاده میشود. این موضوع باعث میشود که تأثير واریانس خطای اندازهگيری کاهش یابد. اثر افزایش تعداد دفعات اندازهگيری در کاهش خطای اندازهگيری در دو حالت آگاهی و عدم آگاهی از وجود خطا در ادامه بررسی شده است. -4 آگاهی از وجود خطای اندازهگیری همانگونه که بيان شد در صورت آگاهی از وجود خطای اندازهگيری مقدار آمارهی عالمت با مقایسهی مشاهدات با ) محاسبه میشود. در ميانگين متغير اندازهگيری شده ( این حالت اثر تغيير پارامترهای مختلف مدل خطا بر عملکرد نمودار به صورت زیر میباشد: الف( تغییرات پارامتر A تغييرات پارامتر A در حالت آگاهی از وجود خطا و به علت فرض بر مقادیر ARL و عملکرد نمودار تأثير نمیگذارد. علت k / 55 / 76 / / 4 / 454 /5 38 / 3 4 / 6 5 /3 /5 4 / 5 59 / 8 / 6 9 / 4 / 73 / 5 / 6 / 85 5 / 8 3 / 38 / 3 /5 / 3 / 99 / 6 / 89 / 48 / / 6 / / 57 / 34 / 9 /5 / 6 / 4 / / / 7 3 / / / 7 / 9 / 5 / 3 / 5 / / 5 / 46 / 9 7 / 7 /5 8 / / 88 4 / 97 / 38 5 / 3 / / 56 3 / 7 6 / 3 3 / 66 / 9 /5 / 4 / 46 / 67 / 83 / 46 / / / 5 / 57 / 3 / 6 /5 / / 37 / 9 / / 4 3 / / / / 6 / 3 / / 56 / / 9 / 3 34 / 3 / /5 6 / 64 5 / 5 7 / 8 7 / 87 4 / / 3 / 68 9 / 7 5 / 3 / / 6 /5 / 86 3 / 6 / 38 / 8 / 47 / / 35 / 94 / 57 / 34 / /5 / 5 / 4 / 4 / 6 / 3 / / 8 / 8 / 3 / 8 / 5 j.pqprc.ac.ir

16 نرمال نرمال یکنواخت یکنواخت الپالس الپالس بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار کنترل عالمت 33 5 آن است که در حالت آگاهی از وجود خطا تأثير جابهجایی ميانگين به اندازهی A با طراحی درست نمودار در شرایط جدید خنثی میشود. بنابراین با افزایش تعداد دفعات اندازهگيری میتوان تأثير نامطلوب واریانس خطا را تا حد امکان کاهش داد. ب( تغییرات پارامتر B اثر مقادیر مختلف پارامتر B بر عملکرد نمودار عالمت در حالتی ) و مقدار که هر مقدار 5 بار اندازهگيری شده )۵ است بررسی و در جدول 4 نشان داده شده است. مقدار پارامتر A در این حالت نيز تأثيری بر عملکرد نمودار ندارد. با مقایسه جدول 4 و جدول مشاهده میشود که برای هر سه توزیع با افزایش تعداد دفعات اندازهگيری تأثير نامطلوب خطا بر عملکرد نمودار به شدت کاهش مییابد. در توزیعهای نرمال و الپالس با افزایش مقدار B تقریبا به ازای همه تغييرات تأثير خطا روی B کاهش مییابد. در توزیع یکنواخت نيز با افزایش مقدار ARL برای تغييرات بزرگتر از تأثير خطا روی ARL کاهش مییابد. در تغييرات کوچکتر از این کاهش محسوس نيست. جدول 4: مقادیر ARL نمودار عالمت با = 5 k بار اندازهگيری به ازای مقادیر مختلف B )در حالت آگاهی از وجود خطا( پ( تغییرات پارامتر C مقادیر ARL نسبتهای مختلف نمودار عالمت با به ازای بار اندازهگيری و در جدول 5 نشان داده شده است. در این حالت نيز مقدار A تأثيری در عملکرد نمودار ندارد. با مقایسه جدول 5 و جدول که مقادیر ARL نمودار را برای حالت یک بار اندازهگيری نشان میدهد مشخص میشود که در هر سه توزیع با افزایش تعداد دفعات اندازهگيری اثر خطای اندازهگيری روی عملکرد نمودار به مقدار C قابل توجهی کاهش مییابد. در توزیع نرمال در همهی تغييرات افزایش تأثير خطای اندازهگيری را افزایش میدهد اما در توزیع یکنواخت برای /5 Δ این حالت برقرار است. Δ و در توزیع الپالس برای /5 جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت با 5=k بار اندازهگيری به ازای C مقادیر مختلف )در حالت آگاهی از وجود خطا( توزیع Δ بدون خطا / / 3 / / / 55 / 76 5 / 9 59 / 9 56 / 8 54 / 89 5 / 7 /5 4 / 5 4 / 59 4 / / 6 44 / 9 49 / 85 / 5 / 6 5 / 83 6 / 6 / 6 / 4 7 / 4 /5 / / 5 / / 3 / / 43 / / 6 / 7 / 8 / 3 / 33 / 4 /5 / 6 / 7 / 8 / 8 / 9 / 3 / / / / / / / 3 / 5 / / 84 5 / 57 / / 94 5 / 54 /5 8 / 95 8 / 5 8 / 68 8 / 6 79 / / 59 / / 56 / 76 / 89 / 6 / 79 / 7 /5 / / / 9 / / 8 / 63 / / / / / 5 / / 5 /5 / / / / / / 3 / / / / / / / / 56 / 3 56 / / 98 5 / / 58 / 88 /5 6 / 64 8 / 38 9 / 7 9 / 95 / 64 3 / 34 / 3 / 68 3 / 65 3 / 9 3 / 96 4 / 7 4 / 88 /5 / 86 / 87 / 9 / 98 / 99 / 5 / / 35 / 37 / 36 / 37 / 38 / 43 /5 / 5 / 6 / 6 / 5 / 9 / 3 / / 8 / 9 / 7 / 8 / 8 / 9 B توزیع جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت با k بار اندازهگيری Δ بدون خطا 3 / 55 / 76 5 / 7 5 / 3 56 / 3 56 / 34 /5 4 / 5 49 / 85 4 / 37 4 / 9 4 / 9 / 5 / 6 7 / 4 6 / 5 / 76 5 / 65 /5 / / 43 / 3 / 4 / / / 6 / 4 / 3 / 8 / 6 /5 / 6 / / 7 / 7 / 7 3 / / / 3 / / / / 5 / 48 5 / / / / 6 /5 8 / / 59 8 / 3 8 / 5 8 / 3 / / 56 / 7 / 74 / 58 / 7 /5 / / 63 / / 99 / 98 / / / 5 / 4 / / /5 / / / / / 3 / / / / / / / 56 / 3 58 / / 7 56 / / 9 /5 6 / 64 3 / 34 / 37 8 / 6 6 / 84 / 3 / 68 4 / 88 3 / 96 3 / 75 3 / 76 /5 / 86 / 5 / 94 / 9 / 86 / / 35 / 43 / 36 / 35 / 38 /5 / 5 / / 5 / 6 / 5 3 / / 8 / 9 / 9 / 8 / 7 جلد 4- شماره - بهار 3

17 نرمال نرمال یکنواخت یکنواخت الپالس الپالس مجید نوجوان مسعود علیشاهی k k )در حالت آگاهی از وجود خطا( توزیع Δ بدون خطا جدول : مقادیر ARL نمودار عالمت با k بار اندازهگيری )در حالت عدم آگاهی از وجود خطا( توزیع Δ بدون خطا 3 / 55 / 76 7 / 5 6 / 5 6 / 5 / 85 /5 4 / 5 / 46 / / 7 / 5 / 5 / 6 / 43 / 34 / 3 / 7 /5 / / / 9 / 8 / 7 / / 6 / 4 / / / /5 / 6 / / / / 3 / / / / / / / 5 / 48 / 3 / 64 / 6 / 75 /5 8 / 95 / 6 / 3 / 3 / 99 / / 56 / 4 / / 4 / /5 / / / / / / / / / / / /5 / / / / / 3 / / / / / / / 56 / 3 4 / 94 4 / 3 / 85 3 / 85 /5 6 / 64 / / 97 / 93 / 88 / 3 / 68 / 44 / 39 / 37 / 35 /5 / 86 / / 7 / 7 / 6 / / 35 / / 8 / 7 / 8 /5 / 5 / 4 / 4 / 4 / 3 3 / / 8 / / / / 3 / 55 / 76 5 / 7 58 / 4 57 / / 67 /5 4 / 5 49 / / 3 4 / 8 4 / 87 / 5 / 6 7 / 4 6 / 35 6 / 4 5 / 56 /5 / / 43 / / 4 / / / 6 / 4 / 3 / 3 / 6 /5 / 6 / / / 7 / 7 3 / / / 3 / 3 / / / 5 / 48 5 / 54 5 / 5 / 64 5 / 6 /5 8 / / 59 8 / / 8 79 / 55 / / 56 / 7 / 77 / 7 / 98 /5 / / 63 / 9 / 6 / / / / 5 / / 4 / /5 / / / / / 3 / / / / / / / 56 / 3 58 / / 7 5 / 78 5 / 53 /5 6 / 64 3 / 34 3 / 64 / 5 8 / / 3 / 68 4 / 88 4 / 4 3 / 95 3 / 79 /5 / 86 / 5 / 96 / 93 / 89 / / 35 / 43 / 38 / 36 / 33 /5 / 5 / / 8 / 7 / 6 3 / / 8 / 9 / 8 / 7 / 7 ت( اثر افزایش تعداد دفعات اندازهگیری )k( در جدول 6 تأثير تعداد دفعات اندازهگيری بر روی مقادیر ARL نمودار عالمت با خطای اندازهگيری بررسی شده است. در این حالت فرض شده است که هستند زیرا این و مقادیر بيشترین تأثير را عملکرد نمودار دارند. در این حالت نيز مقدار پارامتر A تأثیری بر عملکرد نمودار ندارد. همانطور که در جدول 6 مشاهده میشود با افزایش تعداد دفعات اندازهگيری برای توزیعهای نرمال و الپالس تأثير خطای اندازهگيری کاهش مییابد. در توزیع یکنواخت با افزایش تعداد Δ دفعات اندازهگيری برای /5 کاهش مییابد. در /5 تأثير خطای اندازهگيری در صورت عدم آگاهی از وجود خطا با اینکه ميانگين متغير اندازهگيری شده بهدليل وجود خطا تغيير کرده است ولی مقدار آمارهی آزمون بدون در نظر گرفتن خطا محاسبه شده است. همانطور که در قسمت قبل مشاهده شد تأثير جابهجا شدن ميانگين در این حالت به قدری زیاد است که تغييرات B و C را تحت الشعاع قرار میدهد. بنابراین در این حالت فقط تأثير تعداد دفعات اندازهگيری با فرض بررسی شده است. جدول 7 نتایج حاصل از محاسبه مقادیر ARL نمودار عالمت با k بار اندازهگيری را در حالت و نشان میدهد. نتایج جدول 7 نشان میدهد که افزایش تعداد دفعات اندازهگيری در حالت نه تنها تأثير خطای اندازهگيری را کاهش نمیدهد بلکه این تأثير را افزایش میدهد. علت آن است که با افزایش تعداد دفعات اندازهگيری تأثير واریانس خطا کاهش مییابد و در نتيجه تخمين مقدار اشتباه دقيقتر میشود. Δ این کاهش محسوس نيست. 3-4 عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگیری j.pqprc.ac.ir

18 بررسی اثر خطای اندازهگیری بر عملکرد نمودار کنترل عالمت 3 [6] Park, C. (985). Some Control Procedures Useful for One-sided Asymmetrical Distributions, Journal of the Korean Statistical Society, 4(), [7] Park, C., Park, C., Reynolds Jr. M. R. and Reynolds Jr., M.R. (987). Nonparametric Procedures for Monitoring a Location Parameter Based on Linear Placement Statistics, Sequential Analysis, 6(4), [8] Amin, R. W. and Searcy, A.J. (99). A Nonparametric Exponentially Weighted Moving Average Control Scheme, Communications in Statistics-Simulation and Computation, (4), [9] Hackl, P. and Ledolter, J. (99). A Control Chart Based on Ranks, Journal of Quality Technology, 3(), 7-4. [] Hack, P. and Ledolter, J. (99). A New Nonparametric Quality Control Technique, Communications in Statistics-Simulation and Computation, (), [] Amin, R. W., Reynolds Jr, M.R. and Saad, B. (995). Nonparametric Quality Control Charts Based on the Sign Statistic, Communications in Statistics: Theory and Methods, 4(6), [] Arnold, B. (985). The Sign Test in Current Control, Statistische Hefte, 6(), [3] Chakraborti, S. and Van de Wiel, M.A. (3). A Nonparametric Control Chart Based on the Mann- Whitney Statistic, Technische Universiteit Eindhoven, Department of Mathematics and Computing Science. ]4[ نورالسناء رسول صدیقی زهرا )39(. بررسی عملکرد 5- نتیجهگیری در این مقاله تأثير خطای اندازهگيری بر عملکرد نمودار عالمت در دو حالت آگاهی و عدم آگاهی از وجود خطای اندازهگيری بررسی شده است. برای اینکار یک برنامه شبيهسازی تهيه و مقادیر ARL نمودار عالمت در سه توزیع مختلف و با تغيير پارامترهای مدل خطی خطا بررسی شده است. نتایج شبيهسازی نشان میدهد که در حالتی که آمارهی عالمت از ابتدا با در نظر گرفتن خطای اندازهگيری محاسبه شود تغييرات پارامتر A مدل خطا تأثيری در عملکرد آن ندارد. با افزایش واریانس خطای اندازهگيری و نسبت عملکرد نمودار افزایش مییابد. وجود پارامتر تأثير خطای اندازهگيری بر B تأثير قابل توجهی بر عملکرد نمودار میگذارد اما با افزایش مقدار آن این تأثير کاهش مییابد. یکی از روش های کاهش اثر خطای اندازهگيری بر روی عملکرد نمودارها افزایش تعداد دفعات اندازهگيری و در نظر گرفتن ميانگين مقادیر اندازهگيری شده است. در حالت آگاهی از وجود خطای اندازهگيری افزایش تعداد دفعات اندازهگيری تأثير زیادی در کاهش خطای اندازهگيری دارد اما در حالت عدم آگاهی از وجود خطا وجود پارامتر A عملکرد نمودار را شدیدا تحت تأثير قرار داده و متوسط طول دنباله را در حالت تحت کنترل کاهش میدهد. افزایش تعداد دفعات اندازهگيری در این حالت نه تنها نتایج را بهتر نمیکند بلکه تأثير نامطلوب خطای اندازهگيری را افزایش میدهد. مراجع نمودار ناپارامتری من-ویتنی همراه با خطای تخمين مجله مهندسی و مدیریت کيفيت جلد شماره. ]5[ نوجوان مجيد غفاری نفيسه )39(. بررسی عملکرد نمودار ناپارامتری من-ویتنی همراه با خطای تخمين مجله مهندسی و مدیریت کيفيت جلد شماره [6] Maravelakis, P., Panaretos, J. and Psarakis, S. (4). EWMA Chart and Measurement Error, Journal of Applied Statistics, 3(4), [7] Maravelakis, P. E. (). Measurement Error Effect on the CUSUM Control Chart, Journal of Applied Statistics, 39(), [] Parent, E. A. (965). Sequential Ranking Procedures, Stanford, California: Stanford University. [] Reynolds Jr, M. R. (97). A Sequential Nonparametric Test for Symmetry with Applications to Process Control, Stanford, California: Stanford University, Department of Operational Research. [3] McGilchrist, C. A. and Woodyer, K. D. (975). Note on a Distribution-Free CUSUM Technique. Technometrics, 7(3), [4] Bakir, S. T. (977). Nonparametric Procedures for Process Control, Doctoral dissertation, Virginia Polytechnic Institute and State University. [5] Bakir, S. T. and Reynolds, M. R. (979). A Nonparametric Procedure for Process Control Based on Within-Group Ranking, Technometrics, (), جلد 4- شماره - بهار 3